Suatu ruang metrik dikatakan ruang Atsuji jika setiap fungsi kontinu bernilai riil di ruang tersebut merupakan fungsi kontinu seragam. Ruang Atsuji merupakan ruang metrik yang lengkap. Ruang metrik dikatakan memiliki Atsuji completion jika completion-nya adalah ruang Atsuji. Tujuan skripsi ini adalah mempelajari dan menjelaskan syarat-syarat suatu barisan di ruang metrik yang memiliki Atsuji completion agar barisannya memiliki subbarisan Cauchy. Barisan yang ditinjau merupakan barisan pseudo-Cauchy, barisan asimtotik, barisan dari titik akumulasi, dan barisan dari pasangan titik terisolasi.

---

A metric space is called an Atsuji space if every real-valued continuous function on it is uniformly continuous. An Atsuji space is a complete space. A metric space is said to have an Atsuji completion if its completion is an Atsuji space. The aim of this undergraduate thesis is to study and explain the condition of sequences in metric space which has Atsuji completion in order to have a Cauchy subsequence. The sequences being considered are pseudo-Cauchy sequence, asymptotic sequence, sequence of accumulation points, and sequence of paired isolated points.